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既にスマホや、SMS、電話を利用する電子待合・呼出システムは結構存在するようですよ。

また、そう言ったもの以外に、コロナ下を受けて非常にシンプルな仕組みにした上で無料で開放されているものもあるみたいです。
シンプルなタイプでは、QRコードを読み取ると、システムのWebサイトに接続されて、番号が表示される、だけです。これをブックマークしておき番号札の代わりにするのだそうです。
サーマルプリンタにも接続できて物理番号札とも混合が可能。

時間で事前予約入れたり、他システムに接続しようとするとお金がかかるみたいですが、ここら辺までは無料で利用できるようです。

こんな感じで民間サービスがあるので、あまり国でやるとかしないほうが良いと思います。
また、あんまりマイナンバーカードと接続する必要は無いように思います。もちろん、もっと高度に電子カルテなどに接続するとかあればですが、第一歩はなくてもいいんじゃない？と思いました。